三角形重心2_1怎么证明向量

中考数学难题往往都和相似三角形有关,而求线段的比也经常会成为选择、填空的压轴小题。这类题的常规解法是添加辅助线,构造A字型和8字型相似,再利用相似比或者平行线分线段成比例的原理进行求解。

而如何构造辅助线这是一个难点,很多同学无法突破,即便作出了辅助线,有时想准确地找到比例关系也是难事,最终只能放弃。

下面这道中考真题,同学们可以先自己做一下,感受下此类题的难度,能做对的同学很不错,做不好也没关系,后面会有具体的解答,而且这种方法非常简单,最重要的是,每个同学都可以轻松掌握!

三角形重心2_1怎么证明向量

用杠杆原理求线段比 例4

那么,这类题我们有没有更好的解决办法呢?当然有,而且这种方法连辅助线都不用做。到底是什么样的好方法呢?那就是物理学上的杠杆原理,我们可以利用杠杆原理轻松破解此类难题,甚至直接口算都可以。

同学们对杠杆原理应该都很熟悉,如果忘记了,那我们就来一起复习下吧。

三角形重心2_1怎么证明向量

阿基米德“不证自明的公理”

三角形重心2_1怎么证明向量

杠杆原理简介

杠杆原理虽然很有名,但是这是一个物理学上的知识,跟我们的相似比有何关系呢?下面,我们先结合两个简单的例子进行一个讲解。

三角形重心2_1怎么证明向量

质量法知识讲解1

三角形重心2_1怎么证明向量

质量法知识讲解2

其实,我们只要搞清楚以上这两个问题,就可以解决此类数学问题了。

杠杆原理,本质上是一种平衡关系,研究的是力和力臂之间的一种关系。我们可以把动力和阻力理解为线段AB两端的两个质量相等或不等的小球,要使线段保持平衡状态,根据杠杆原理,就需要满足A、B两端点到重心的距离与其质量成反比。据此,我们便可得到线段之比,即AC/BC=b/a.

杠杆原理,也称“杠杆平衡条件”,要使杠杆平衡,作用在杠杆上的两个力矩(力与力臂的乘积)大小必须相等。即:动力×动力臂=阻力×阻力臂。

由于,我们在A、B两个端点处放置的是带有质量的小球,所以,也可以把这种方法称为质量法。

三角形重心2_1怎么证明向量

三角形的中线和重心

这种质量法可以很好的解释重心这个概念,证明中线的相关性质。

  • 三角形的三条中线交于一点,这一点是三角形的重心;
  • 三角形的中线平分三角形的面积,三条中线分得的六部分面积相等;
  • 三角形的重心把每条中线分成2:1的两部分。

下面,我们就结合几道经典例题,来看下在中考中如何用质量法去快速求解线段之比。

三角形重心2_1怎么证明向量

质量法求线段比 例1

三角形重心2_1怎么证明向量

质量法求线段之比 例1解答图

三角形重心2_1怎么证明向量

质量法求线段之比 例2

三角形重心2_1怎么证明向量

质量法求线段之比 例2解答图

例1、例2这两道题都是中考模拟题,难度并不大,构造一条辅助线就可以解决这两题,但是,我们采用杠杆原理去解决这两题,不但不需要做任何辅助线,而且可以快速口算得到答案。

三角形重心2_1怎么证明向量

质量法求线段之比 例3

三角形重心2_1怎么证明向量

质量法求线段之比 例3解答图

例3这道题是一道自主招生题,稍微增加了一点难度,其实只不过是多了些步骤而已,与前两题没有本质区别,同样,我们可以用质量法快速求解。

如果这几题还不能显示出物理学原理在解此类题的巨大作用的话,那么,下面这两道例题将足以显现出它的巨大优势!

三角形重心2_1怎么证明向量

质量法求线段之比 例4解答图1

三角形重心2_1怎么证明向量

质量法求线段长度 例4解答图2

例4这道题是四川凉山州中考真题,我们给出了质量法和普通解法两种方法,通过对比,我们可以明显感受到质量法的优势,不但简单快速,而且直接有效,如果掌握此种方法,在中考中,便可帮助我们大大提高解题效率,做到事半功倍!

三角形重心2_1怎么证明向量

质量法求线段之比 例5

三角形重心2_1怎么证明向量

质量法破解相似三角形难题例5解答图

例5这道题是一道比较老的经典相似题,如果用普通方法去做,估计有很多同学会找不到思路,即使找到突破口,也需要做多条辅助线,利用多次相似比的转化,然后,才能得到最终答案。

用质量法便很容易求解,虽然过程也比较复杂,但是其实都是口算题,而且不需要作任何辅助线,所以,优势还是比较明显的。

有时,多一种方法就多一条路,选对方法就会事半功倍,考场如战场,我们要的不只是准,有时更要快和狠!

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