幂运算法则的逆向运用
幂运算法则指的是：
（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a^m×a^n=a^(m+n)；
（2）同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a^m÷a^n=a^(m-n)；
（3）幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(a^m)^n=a^(mn)；
（4）积的乘方等于乘方的积，(ab)^n=a^nb^n.
逆向运用这些法则就是：
（1）a^(m+n)=a^m×a^n，即指数和的幂等于同底数幂的积；
（2）a^(m-n)=a^m÷a^n；即指数差的幂等于同底数幂的商；
（3）a^(mn)=(a^m)^n；即指数积的幂等于幂的乘方；
（4）a^nb^n=(ab)^n，即同指数幂的积等于积的幂.
逆向运用幂运算法则可以解决一些具有一定难度的幂的问题.请看：
例1 已知2^a=6，2^b=3，
则2a-b+2=______.
分析与解：逆向运用幂运算法则，得：
2^(a-b+2)=2^a÷2^b×2^2=6÷3×4=8.
例2（2021·广东中考题）
已知9^m=3，27^n=4，
则3^(2m+3n)=（ ）
A．1 B．6 C．7 D．12
分析与解：3^(2m+3n)是指数积与和的幂，逆向运用幂的运算法则，把它化为幂的乘方及幂的乘积，得：
3^(2m+3n)=3^(2m)×3^(3n)
=(3^2)^m×(3^3)^n
=9^m×27^n=3×4=12，
故选D.
例3（2021·四川达州中考题）
已知a，b满足等式
a^2+6a+9+√(b-1/3)=0，
则a^2021b^2020=___________．
分析与解：将已知等式变形，化为
(a+3)^2+√(b-1/3)=0，
由非负数性质，得：
a=-3，b=1/3，所以ab=-1，
所以a^2021b^2020=a×a^2020b^2020
=a×(ab)^2020=（-3）×(-1)^2020=-3.
例4 如果2^a=6，2^b=3，
则a-b等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
分析与解：因为a，b是幂的指数，欲求a-b的值，先考虑构造一个指数为a-b的幂，由于已知幂的底数为2，所以构造底数为2，指数为a-b的幂，然后再求它的值.
由已知，得：
2^(a-b)=2^a÷2^b=6÷3=2，
即2a-b=2，
比较两边的指数，得：a-b=1，
故选A.
例5 已知a^x=ab^2，a^y=a^2/b，
则x+2y的值等于_________.
分析与解：构造一个以a为底数，x+2y为指数的幂，得：
a^(x+2y)=a^x×a^(2y)
=ab^2×(a^y)^2
=ab^2×a^4/b^2=a^5，
即a^(x+2y)=a^5，
比较两边的指数，得：x+2y=5.
例6 已知3^x=108，3^y=6，则x，y满足的关系式是（ ）
A.x-y=1 B.x-y=2
C.x-2y=1 D.x-2y=2
分析与解：依次构造以3为底，指数分别为x-y，x-2y的幂，再逆向运用幂的运算法则进行计算.
3^(x-y)=3^x÷3^y
=108÷6=18≠31，≠32，
所以x-y≠1，≠2，
可排除A和B；
3^(x-2y)=3^x÷3^(2y)=108÷(3^y)2
=108÷6^2=3=3^1，
所以2x-y=1，故选C.
例7 已知5^m=100，5^n=40，则m，n满足的关系式是_______________.
分析与解：构造一个以5为底的幂，该幂经过计算后能够得到一个仍然是以5为底的幂，然后通过比较幂的指数而获解.显然，这样的幂只能来自已知的两个等式相除，约去所有非5的因数而获得.
由于100含有非5的因数2^2，40含有非5的因数2^3，它们相除后要能够约掉，必须是把2^2立方，把2^3平方，因此，
把5^m=100=2^2×5^2的两边立方，得：
5^(3m)=2^6×5^6，
把5^n=40=2^3×5的两边平方，得：
5^(2n)=2^6×5^2，
所以5^(3m-2n)
=5^(3m)÷5^(2n)
=2^6×5^6÷（2^6×5^2）
=5^4，
即5^(3m-2n)=5^4，
所有m，n满足的关系式是3m-2n=4.
