数学证明是数学陈述的推理论证，表明陈述的假设在逻辑上保证了结论。论证可以使用其他先前建立的陈述，例如定理；但原则上，每个证明都可以仅使用某些称为公理的基本或原始假设以及公认的推理规则来构建。证明是建立逻辑确定性的详尽演绎推理的示例，以区别于经验建立“合理预期”的论证或非穷尽归纳推理。提出陈述成立的许多情况不足以证明，证明必须证明陈述在所有可能的情况下都是正确的。一个未被证明但被认为是真的命题被称为猜想，如果经常用作进一步数学工作的假设，则称为假设。
证明使用以数学符号表示的逻辑，以及通常承认一些歧义的自然语言。在大多数数学文献中，证明是根据严格的非正式逻辑编写的。纯粹的形式证明，完全用符号语言编写，不涉及自然语言，在证明理论中被考虑。正式证明和非正式证明之间的区别导致了对当前和历史数学实践、数学中的准经验主义以及所谓的民间数学的大量检验。数学哲学关注语言和逻辑在证明中的作用，以及数学作为一种语言。
要实施数学证明，有很多种方法，尽可能多地掌握这些证明方法，尝试解决遇到的问题。
直接证明
在直接证明中，结论是通过公理、定义和早期定理的逻辑组合来建立的。例如，直接证明可以用来证明两个偶数之和总是偶数 ：
考虑两个偶数x和y，由于它们是偶数，因此对于某些整数a和b，它们可以分别写为x = 2a和y = 2b。那么总和是x + y = 2a + 2b = 2( a + b )。因此x + y有 2 作为因子，并且根据定义是偶数。因此，任何两个偶数之和都是偶数。
这个证明使用偶数的定义、加法和乘法下闭包的整数性质以及分配性质。
数学归纳证明
数学归纳是一种演绎方法，而不是归纳推理的一种形式。在数学归纳证明中，证明了一个“基本情况”，并证明了一个“归纳规则”，该规则确定任何任意情况都暗示下一个情况。由于原则上可以重复应用归纳规则（从已证明的基本案例开始），因此所有（通常是无限多）案例都是可证明的。这避免了必须单独证明每个案例。数学归纳法的一个变体是无限下降证明，例如，它可以用来证明2的平方根的不合理性。
数学归纳证明的一个常见应用是证明一个已知对一个数成立的属性对所有自然数都成立：令N = {1, 2, 3, 4, … } 是自然数的集合数，令P ( n )是一个数学陈述，涉及属于N的自然数n使得
- (i) P (1)为真，即当n = 1时P ( n )为真。
- (ii) 只要P (n)为真， P (n +1)就为真，即P (n)为真意味着P (n +1)为真。
- 那么P (n)对所有自然数n都为真。
例如，我们可以通过归纳证明所有2n-1形式的正整数都是奇数。令P (n)表示“ 2n ? 1是奇数”：
(i)对于n = 1 , 2n – 1 = 2(1) – 1 = 1，并且1是奇数，因为它在除以2时余数为1。因此P (1)为真。
(ii)对于任何n，如果2 n – 1是奇数 ( P (n) )，那么(2n – 1) + 2也一定是奇数，因为奇数加2会产生奇数。但是(2n – 1) + 2 = 2n + 1 = 2( n +1) – 1，所以2(n +1) – 1是奇数 (P (n +1) )。所以P (n)意味着P (n +1)。
因此 ，对于所有正整数n ， 2n – 1都是奇数。
对位证明
对立证明通过建立逻辑等价的对立命题“如果不是q那么不是p“推断命题“如果p则q ”。
例如，给定一个整数，可以使用对位证明来确定，如果是偶数，那么是偶数：
假设不是偶数，那么是奇数，两个奇数的乘积是奇数，因此是奇数，因此是奇数。因此，如果是偶数，假设一定是假的，所以必须是偶数。
矛盾证明法
在矛盾证明中，如果假设某个陈述为真，则会发生逻辑矛盾，因此该陈述必须是错误的。一个著名的例子涉及证明是一个无理数。
构造证明
构造证明或实例证明是构造具有属性的具体示例以表明存在具有该属性的事物。例如，约瑟夫·刘维尔（ Joseph Liouville ）通过构建一个明确的例子证明了超越数的存在。它也可以用来构造一个反例来反驳所有元素都具有某种性质的命题。
穷举法证明
在穷举证明中，结论是通过将其划分为有限数量的案例并分别证明每个案例来建立的。案件的数量有时会变得非常大。例如，四色定理的第一个证明就是用 1936 例穷举证明。这个证明是有争议的，因为大多数案例是由计算机程序而不是手动检查的。截至 2011 年，已知最短的四色定理证明仍有 600 多个案例。
概率证明
概率证明是通过使用概率论的方法证明一个例子确实存在的证明。概率证明，与构造证明一样，是证明存在定理的众多方法之一。
在概率方法中，人们从大量候选对象开始寻找具有给定属性的对象。一个人为每个被选中的候选者分配一个特定的概率，然后证明一个被选中的候选者将具有所需属性的非零概率。这没有指定哪些候选人具有该属性，但如果没有至少一个，概率就不可能是正数。
不要将概率证明与定理“可能”为真的论证、“似是而非的论证”相混淆。Collat ??z 猜想的研究表明，合理性与真正的证据相去甚远。虽然大多数数学家不认为给定对象属性的概率证据算作真正的数学证明，但一些数学家和哲学家认为，至少某些类型的概率证据（例如拉宾用于测试素性的概率算法）是就像真正的数学证明一样好。
组合证明
组合证明通过表明它们以不同的方式计算相同的对象来建立不同表达式的等价性。通常使用两个集合之间的双射来表明它们的两个大小的表达式相等。
非构造性证明
非构造性证明确定了具有特定属性的数学对象存在——没有解释如何找到这样的对象。通常，这采取矛盾证明的形式，其中对象的不存在被证明是不可能的。相反，构造性证明通过提供一种找到特定对象的方法来确定特定对象的存在。
纯数学中的统计证明
“统计证明”这个表达方式可以在纯数学领域技术性地或通俗地使用，例如涉及密码学、混沌级数和概率数论或解析数论。它不太常用来指代数学分支中称为数理统计的数学证明。另请参阅下面的“使用数据的统计证明”部分。
计算机辅助证明
直到 20 世纪，人们认为任何证明原则上都可以由有能力的数学家检查以确认其有效性。但是，计算机现在既用于证明定理，也用于执行任何人或团队都无法检查的计算；四色定理的第一个证明是计算机辅助证明的一个例子。一些数学家担心，计算机程序中出现错误或计算中出现运行时错误的可能性会使此类计算机辅助证明的有效性受到质疑。在实践中，通过在计算中加入冗余和自检，以及开发多种独立的方法和程序，可以减少使计算机辅助证明无效的错误机会。在人类验证证明的情况下，也永远不能完全排除错误，特别是如果证明包含自然语言并且需要深入的数学洞察力来发现潜在的隐藏假设和谬误。
