测量中有关缓和曲线、圆曲线、竖曲线的知识介绍（测量中有关缓和曲线,圆曲线,竖曲线的知识介绍）

关于缓和曲线、圆曲线、竖曲线的原理可以看书了解，我用几张图片简单介绍一下。然后列举几个题目，并给出解答过程，这几个题目可以好好参考。

基本知识点：

例题及详细解答过程：

1、已知一条线路，起点坐标为QD(2819.272,3816.598)；交底坐标为JD(3308.546，4688.728)、里程为DK12 212.500，曲线半径为1000、前后缓和曲线长度为120m；终点坐标为ZD（2804.277，5813.457）。

（1）计算直缓点、缓圆点、曲中点、圆缓点、缓直点里程及坐标；

（2）里程DK12 606.500处有一斜交涵洞，斜交角度为60°，涵洞宽8m、长30m，如上图所示，计算涵洞四个角点A、B、C、D的坐标

解答：（1）计算直缓点、缓圆点、曲中点、圆缓点、缓直点里程及坐标；

内移值：p=ls²/24R=120²/24/1000=0.6m

切线增值：q=ls/2-ls³/240R²=120/2-120³/240/1000²=59.993m

α1=arctan（△Y/△X）= arctan（872.130/489.274）=60°42′25.6″

α2=arctan（△Y/△X）=arctan（1124.729/-504.269） 180°=114°8′56.2″

α=α2-α1=53°26′30.6″ α/2=26°43′15.3″

切线长：T=（R p）tanα/2 q=563.7

外距：E=（R p）secα/2-R=120.233

缓和曲线角：β=ls/2R=120/2/1000=0.06 换算：3°26′15.9″

圆曲线角：αy=α-2β=46°33′58.8″

圆曲线长：ly=R*αy/180°*π=1000*46°33′58.8″/180°*π=812.736m

ZH点里程：JD里程-T=K12 212.5-563.7=K11 648.8

HY点里程：ZH点里程 ls= K11 648.8 120=K11 768.8

QZ点里程= HY点里程 ly/2= K11 768.8 812.736/2= K12 175.168

YH点里程= QZ点里程 ly/2= K12 175.168 812.736/2= DK12 581.536

HZ点里程= YH点里程 ls= DK12 581.536 120= DK12 701.536

ZH点坐标：

△X=cosα1*T=cos60°42′25.6″*563.7=275.804

△Y=sinα1*T=sin60°42′25.6″*563.7=491.619

XZH=XJD-△X =3308.546-275.804=3032.742

YZH=YJD-△Y =4688.728-491.619=4197.109

HZ点坐标：

△X=cosα2*T=cos114°8′56.2″*563.7=-230.615

△Y=sinα2*T=sin114°8′56.2″*563.7=514.368

XHZ=XJD △X =3308.546 (-230.615)=3077.931

YHZ=YJD △Y =4688.728 514.368=5203.096

QZ点坐标：

外距方位角：αw=α2 （180°-α）/2=177°25′40.9″

△X=cosαw*E=cos177°25′40.9″*120.233=-120.112

△Y=sinαw*E=sin177°25′40.9″*120.233=5.395

XQZ=XJD △X =3308.546 （-120.112）=3188.434

YQZ=YJD △Y =4688.728 5.395=4694.123

HY点坐标：

X圆心= XQZ R*cosαw =3188.434 1000*cos177°25′40.9″=2189.441

Y圆心= YQZ R*sinαw =4694.123 1000*sin177°25′40.9″=4738.997

α圆心-QZ=αw 180°=357°25′40.9″

α圆心-HY=α圆心-QZ-αy /2=357°25′40.9″-46°33′58.8″/2=334°8′41.5″

XHY= X圆心 R*cosα圆心-HY=2189.441 1000*cos334°8′41.5″=3089.341

YHY= Y圆心 R*sinα圆心-HY=4738.997 1000*sin334°8′41.5″=4302.900

YH点坐标：

α圆心-YH=α圆心-QZ αy /2=357°25′40.9″ 46°33′58.8″/2-360°=20°42′40.3″

XYH= X圆心 R*cosα圆心- YH =2189.441 1000*cos20°42′40.3″

=3124.816

YYH= Y圆心 R*sinα圆心- YH =4738.997 1000*sin20°42′40.3″

=5092.655

（2）里程DK12 606.500处有一斜交涵洞，斜交角度为60°，涵洞宽8m、长30m，如上图所示，计算涵洞四个角点A、B、C、D的坐标

根据里程DK12 606.500可得此涵洞在第二缓和曲线上

HZ点坐标： XHZ= 3077.931，YHZ= 5203.096

HZ点里程：DK12 701.536 α2=114°8′56.2″

lh= DK12 701.536-DK12 606.500=95.036

X1= lh – lh⁵/40R²ls²=95.036-0.013=95.023

Y1= lh ³/6R ls=95.036³/(6*1000*120)=1.192

Xh= XHZ –X1*cos114°8′56.2″-Yh*sin114°8′56.2″=3077.931-95.023* cos114°8′56.2″-1.192*sin114°8′56.2″=3077.931 38.875-1.088= 3115.718

Yh= YHZ – Xh*sin114°8′56.2″ Yh*cos114°8′56.2″=5203.096-86.707 （-0.488）=5115.901

αh=α2-βh=114°8′56.2″-2°9′22.3″=111°59′33.9″

αh-（A-B）=αh-120° 360°=351°59′33.9″

X A-B=Xh 15*cos351°59′33.9″=3115.718 14.854=3130.572

Y A-B=Yh 15*sin351°59′33.9″=5115.901-2.089=5113.812

αA=αh-（A-B）-90°=351°59′33.9″-90°=261°59′33.9″

XA= X A-B 4*cosαA =3130.572 4*cos261°59′33.9″=3130.015

YA= Y A-B 4*sinαA =5113.812 4*sin261°59′33.9″=5109.851

XB= X A-B 4*cosαA =3130.572 4*cos81°59′33.9″=3131.129

YB= Y A-B 4*sinαA =5113.812 4*sin81°59′33.9″=5117.773

X C-D=Xh 15*cos171°59′33.9″=3115.718-14.854=3100.864

Y C-D=Yh 15*sin171°59′33.9″=5115.901 2.089=5117.990

XC= X C-D 4*cosαA =3100.864 4*cos261°59′33.9″=3100.307

YC= Y C-D 4*sinαA =5117.990 4*sin261°59′33.9″=5114.029

XD= X C-D 4*cosαA =3100.864 4*cos81°59′33.9″=3101.421

YD= Y C-D 4*sinαA =5117.990 4*sin81°59′33.9″=5121.951

2、已知某高速公路左右分离式隧道，基底宽度MN=10米，如下图所示：ZH点里程为DK5 540，坐标为（X=3519274.833，Y=500171.301）ZH点到JD的坐标方位角为99°32′00.3″，隧道洞门里程为DK5 620，位于右偏曲线的缓和曲线上，该缓和曲线参数A=200。

根据所给建筑物与线路的位置关系，完成下列要求（计算结果精确到1mm）：

1、计算DK5＋620线路中线点O处的曲线半径R及O点线路中心线的切线方位角；

2、计算洞门DK5＋620线路中线点O的坐标；

3、计算隧道洞门基底M、N点坐标；

解答：

1、计算DK5＋620线路中线点O处的曲线半径R及O点线路中心线的切线方位角；

答：lo= DK5＋620- DK5 540=80

A²=l*R R=A²/lo=40000/80=500

β=lo²/2Rlo=0.08 换算4°35′1.2″

αo=α1 β=99°32′0.3″ 4°35′1.2″=104°7′1.5″

2、计算洞门DK5＋620线路中线点O的坐标；

答： X1= lo – lo⁵/40R²lo²=80-0.051=79.949

Y1= lo ³/6R lo=80³/(6*1000*80)=2.133

D=√（X1² Y1²）=79.977

弦长夹角：Arctan Y1/X1=1°31′41.7″

弦长方位角α=99°32′0.3″ 1°31′41.7″=101°03′42″

Xo=XZH D*cosα=3519274.833 （-15.345）=3519259.488

Yo=YZH D*sinα=500171.301 78.491=500249.792

3、计算隧道洞门基底M、N点坐标；

答：αM=αo-90°=104°7′1.5″-90°=14°7′1.5″

αN=αo 90°=104°7′1.5″ 90°=194°7′1.5″

XM=Xo D*cosαM=3519259.488 4*cos14°7′1.5″=3519263.367

YM=Yo D*sinαM=500249.792 4*sin14°7′1.5″=500250.768

XN=Xo D*cosαM=3519259.488 6*cos194°7′1.5″=3519253.670

YN=Yo D*sinαM=500249.792 6*sin194°7′1.5″=500248.328

3、已知一道路,起点里程DK0 380，该处高程为28.619m；DK0 430处高程为27.347m，竖曲线半径为600；终点里程为DK0 460,该处高程为29.666m，分别计算DK0 389.21、DK0 417.77、DK0 439.04、DK0 468.08处的高程。

解答：

i1=（27.347-28.619）/（430-380）=-0.02544

i2=（29.666-27.347）/（460-430）=0.0773

ω= i2- i1=0.0773-（-0.02544）=0.10274 为凹曲线

曲线长L=R*ω=600*0.10274=61.644

切线长T=L/2=61.644/2=30.822

竖曲线起点里程：=（K0 430）-30.822= K0 399.178

竖曲线终点里程：=（K0 430） 30.822= K0 460.822

竖曲线起点高程：=27.347 30.822*0.02544=28.131

竖曲线终点高程：=27.347 30.822*0.0773=29.730

1、DK0 389.21 判定该点位于i1直线上

H=27.347 （430-389.21）*i1=28.385

2、DK0 417.77 判定该点位于前半竖曲线上

L=417.77-399.178=18.592

竖距h=L²/2R=18.592²/2/600=0.288

切线点高程H1=28.131-18.592*i1=28.131-0.473=27.658

实际高程H=H1 h=27.658 0.288=27.946

3、DK0 439.04 判定该点位于后半竖曲线上

L=460.822-439.04=21.782

竖距h=L²/2R=21.782²/2/600=0.395

切线点高程H1=29.730-21.782*i2=29.730-1.684=28.046

实际高程H=H1 h=28.046 0.395=28.441

4、DK0 468.08 判定该点位于i2直线上

H=29.730 （468.08-460.822）*i2=30.291

4、已知一道路,起点里程DK0 050，该处高程为8.000m；DK5 260处高程为35.000m，竖曲线半径为250000；终点里程为DK8 405,该处高程为8.000m，分别计算DK3 100.956、DK5 000.125、DK5 650.500、DK7 627.515处的高程。

答：i1=（35-8）/（5260-50）=0.00518

i2=（8-35）/（8405-5260）=-0.008585

ω= i2- i1=-0.008585-0.00518=-0.01376 为凸曲线

曲线长L=R*ω=250000*0.01376=3441.264

切线长T=L/2=3441.264/2=1720.632

竖曲线起点里程：=（K5 260）-1720.632= K3 539.368

竖曲线终点里程：=（K5 260） 1720.632= K6 980.632

竖曲线起点高程：=35-1720.632*0.00518=26.087

竖曲线终点高程：=35-1720.632*0.008585=20.228

1、DK3 100.956 判定该点位于i1直线上

H=26.087-（K3 539.368- K3 100.956）*i1=23.816

2、DK5 000.125 判定该点位于前半竖曲线上

L=5000.125-3539.368=1460.757

h=L²/2R=1460.757²/2/250000=4.267

切线点高程H1= 33.654

实际高程H=H1-h=29.387

3、DK5 650.500 判定该点位于后半竖曲线上

L=6980.632-5650.5=1330.132

竖距h=L²/2R=1330.132²/2/250000=3.538

切线点高程H1=31.647

实际高程H=H1-h=31.647-3.539=28.109

4、DK7 627.515 判定该点位于i2直线上

H=20.228-（7627.515-6980.632）*i2=14.675

5、有一段高速铁路，平曲线为单交点，起点里程为K00 000.000，坐标为（803121.767, 1207813.609）,交点坐标为（804908.483，1214608.078）、半径为12000m、前后缓和曲线长度为230m，终点坐标为（802629.608，1219248.846），如图1所示：该段路线，只有一个竖曲线，其中起点轨面标高为325.526m，里程K11 085.00处轨面标高为266.000m，半径为6000，终点处标高为302.650m，如图2所示。在里程K11 125.345处有一个桥墩，该处立面结构如图3所示；该桥墩横向预偏心为30cm，有6根钻孔桩，几何尺寸如图4所示；

（1）计算K11 125.345处轨面标高、垫梁石标高、承台顶面标高；

（2）计算6根钻孔桩坐标及桩顶标高。