本讲为七下第一讲,重点对平行的判定和性质做一个归纳.
一、知识梳理
1、三线八角
直线AB,CD被直线EF所截,形成了8个角,其中,
同位角有:∠1与∠5,∠2与∠6,
∠3与∠7,∠4与∠8;
内错角有: ∠3与∠5,∠4与∠6;
同旁内角有:∠3与∠6,∠4与∠5;
2、三种角的认识方法
3、平行线的判定方法书写
(1)∵∠1=∠2(已知)
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
(2)∵∠3=∠2(已知)
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
(3)∵∠2+∠4=180°(已知)
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
4、平行线的性质书写
(1)∵AB∥CD(已知)
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)
(2)∵AB∥CD(已知)
∴∠3=∠2(两直线平行,内错角相等)
(3)∵AB∥CD(已知)
∴∠2+∠4=180°(同旁内角互补,两直线平行)
二、几个诀窍
01
找准截线
例1:
如图,填空:
(1)找出∠B的所有同位角,并说明是哪两条直线被哪条直线所截得到的.
(2)∠4和∠5是同位角吗?如果是,说明是哪两条直线被哪条直线所截得到的,如果不是,请说明理由.
(3)找出其余的同位角.
(4)找出所有的内错角,并说明是哪两条直线被哪条直线所截得到的.
(5)找出∠A的所有同旁内角,并说明是哪两条直线被哪条直线所截得到的.
分析:
两条直线被第三条直线所截,要找同位角,内错角,同旁内角,关键在于,找两个角的共线边!
通常,共线边所在直线就是截线,那么剩下的两条边所在直线就是被截直线.
(1)要找∠B的同位角,则关注它的两条边,BG,BA,则可以任选一条作为截线,如选BG为截线,则过BG上的点F,点C的直线FD,CE就可作为被截直线,同理,如选BA为截线,则过BA上的点D的直线DE,DF就可作为被截直线,则四个同位角很快可以确定.
(2)两个角若是同位角,首先要满足组成这两个角的边,有一条是共线边,即一眼看去,只能有“三线”.
(3)(4)(5),注意图中一共有几个角,数字标注的有9个,单独字母标注的有2个,还有两个是组合角∠ADF,∠BDE,一共13个角,一个一个数,做到不重不漏.
解答:
(1)∠B和∠1是直线BG和直线DE被直线AB所截形成的同位角.
∠B和∠ADF是直线BG和直线DF被直线AB所截形成的同位角.
∠B和∠6是直线BA和直线FD被直线BG所截形成的同位角.
∠B和∠9是直线BA和直线CE被直线BG所截形成的同位角.
(2)不是,∠4的两条边是BD,DF,∠5的两条边是DE,EC,不满足三线,不是同位角.
(3)∠A和∠4,∠A和∠BDE,∠A和∠5,∠2和∠8,∠6和∠9,∠7和∠8.
(4)∠A和∠9是直线BA和直线CG被直线AC所截形成的内错角.
∠1和∠5是直线AD和直线CE被直线BE所截形成的内错角.
∠2和∠3是直线AE和直线DF被直线DE所截形成的内错角.
∠2和∠BDE是直线AE和直线BD被直线DE所截形成的内错角.
∠3和∠7是直线DE和直线BF被直线DF所截形成的内错角.
∠4和∠6是直线BD和直线FG被直线BF所截形成的内错角.
∠5和∠9是直线DE和直线CG被直线CE所截形成的内错角.
∠7和∠ADF是直线BF和直线AD被直线DF所截形成的内错角.
(5)∠A和∠1是直线AE和直线DE被直线AD所截形成的同旁内角.
∠A和∠2是直线AD和直线DE被直线AE所截形成的同旁内角.
∠A和∠ADF是直线AC和直线DF被直线AD所截形成的同旁内角.
∠A和∠2是直线AD和直线DE被直线AE所截形成的同旁内角.
∠A和∠8是直线AD和直线CF被直线AC所截形成的同旁内角.
∠A和∠B是直线AC和直线BC被直线AB所截形成的同旁内角.
例2:
如图所示,BE是AB的延长线,量得
∠CBE=∠A=∠C.
(1)由∠CBE=∠A,可得____∥____,
根据是_____________________.
(2)由∠CBE=∠C,可得____∥____,
根据是_____________________.
(3)由∠CBA+∠C=180°,
可得____∥____,
根据是_______________________.
(4)由∠CBA+∠A=180°,
可得____∥____,
根据是_______________________.
分析:
对于这种看似是平行四边形背景的题目,大家非常容易错,这里给出了角的条件,我们就可以马上找到共线边,作为截线,两个角的另外两条边作为被截直线,就是平行线.
如∠CBE=∠A,发现它们的共线边是AE,则AE就是截线,两条被截直线AD,CD平行.
解答:
(1) CB∥DA,同位角相等,两直线平行
(2) CD∥AB,内错角相等,两直线平行
(3) CD∥AB,同旁内角互补,两直线平行
(4) CB∥DA,同旁内角互补,两直线平行
02
找准被截截线
例3:
如图,AB∥EF∥CD,EG∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有 ( )
A.6个 B.5个
C.4个 D.3个
分析:
有了平行,其实就有了2条被截直线,这样,再去找截线,就能找到另外的角.
AB∥EF,则AB,EF为被截直线,EG为截线,找到∠1的内错角∠2.EG∥BD,则EG,BD为被截直线,EH,BG可为截线,找到∠1的同位角∠5,∠2的内错角∠3,AB∥CD,AB,CD可为截线,找到∠5的内错角∠6,别忘了∠3的对顶角,∠4.
解答:B
例4:
如图,
若AC∥EF,则∠A+∠______=180°,
∠______+∠______= 180°.
若∠2=∠______ ,则AE∥BF.
若∠A+∠______=180°,
或∠______+∠______=180°,则AE∥BF.
分析:
由两直线平行,可知被截直线,然后再确定截线,问题迎刃而解.有时,截线不止一条.AC∥EF,又明确∠A,则截线必然经过点A,这里要找同旁内角,则两个角应该在截线AE同旁.AE∥BF,又明确∠2,则则截线必然经过点D,截线为EC,这里要找同位角.最后,确定截线为AB或EF即可秒解.
解答:
若AC∥EF,则∠A+∠AEF= 180°,
∠F+∠FBA= 180°.
若∠2 =∠4,则AE∥BF.
若∠A+∠ABF=180°,
或∠F+∠FEA=180°,
则AE∥BF.
03
格式规范选讲
从本章起,我们真正进入几何证明的书写,因此,格式必须规范.所以,我们来归纳一些常见的证明理由.
(1)平行线的判定和性质(共6条,不再详述)
(2)已知(写在条件后)
(3)角平分线定义,垂直定义
(4)邻补角定义(两个相邻的角和为180°),
平角定义(几个相邻的角的和为180°)
(5)等量代换
(∠1=∠2,∠2=∠3,则∠1=∠3)
(6)等式性质
(∠1=∠2,∠3=∠4,则∠1-∠3=∠2-∠4)
(7)同角的余角(补角)相等
(∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,则∠1=∠3)
(8)平行于同一直线的两直线平行
(a∥b,b∥c,则a∥c)
其中,(5)(8)有些同学易混淆,前者是数量关系,后者是位置关系,要分清.(5)(7)也要注意,∠2是中间角,前者和∠1,∠3都相等,后者和∠1,∠3都互余(互补),是不一样的.
(4)中,邻补角是针对两个角,平角可以由几个角的和组成.
我们来看2个例题,学会写证明的几何语言.
例5:
如图,点B在AC上,BD⊥BE,∠1+∠C=90°,射线CF与BD平行吗?用两种方法说明理由.
分析:
要证CF∥BD,则要找相等的同位角或内错角,或互补的同旁内角,我们发现截线只能是BC,则只能利用同位角∠2和∠C,或同旁内角∠DBC和∠C.
解答:
法1
∵BD⊥BE(已知)
∴∠DBE=90°(垂直定义)
∴∠1+∠2=180°-∠DBE=90°(平角定义)
∵∠1+∠C=90°(已知)
∴∠2=∠C(同角的余角相等)
∴CF∥BD(同位角相等,两直线平行)
法2:
∵BD⊥BE(已知)
∴∠DBE=90°(垂直定义)
∵∠1+∠C=90°(已知)
∴∠1+∠2+∠DBE =90°+90°=180°(等式性质)
即∠DBC+∠C=180°
∴CF∥BD(同旁内角互补,两直线平行)
例6:
如图,AC平分∠BAD,∠ACB=∠BAC,∠D=90°,EF⊥CD,试说明BC∥EF.
分析:
由∠D=90°,EF⊥CD,可证AD∥EF,则再证AD∥BC,利用平行的传递性即可得证.
解答:
∵AC平分∠BAD(已知)
∴∠1=∠3(角平分线定义)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠2=∠3(等量代换)
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)
∵EF⊥CD(已知)
∴∠4=90°=∠D(垂直定义)
∴AD∥EF(同位角相等,两直线平行)
∴BC∥EF(平行于同一直线的两直线平行)