开场故事：三角形三边关系定理

刘薰宇(1896～1967)是现代数学家、数学教育家。建国后担任人民教育出版社副总编辑，负责审定我国中小学数学教材，并亲自参与编写。他也是很有名的科普作家，代表作有《马先生谈算学》《原来数学这样有趣》《数学的园地》等。

他在《原来数学这样有趣》书中谈到了三角形三边关系定理。他是这样说的：

在几何上有三个定理平列着：

(一)直角三角形，斜边的平方等于它两边的平方的和。

(二)钝角三角形，对钝角的一边的平方等于它两边的平方的和，加上，这两边中的一边和另一边在它的上面的射影的乘积的两倍。

(三)锐角三角形，对锐角的一边的平方等于它两边的平方的和，减去这两边中的一边和另一边在它的上面的射影的乘积的两倍。

单只这样说，也许不清楚，我们再用图和算式来表明它们。

图一

《原来数学这样有趣》书摘1

图二

《原来数学这样有趣》书摘2

到了这一步，毕达哥拉斯的定理算是很普遍、很单纯了。记起来便当，用起来简单，依据它要往前进展自然容易得多。

科普作家刘薰宇当年写作本书的时间大概是1933年。现在的数学书和以前相比有了很大的变化。

数学世界的规定1

数学世界的规定2

现在的数学书是这样写的：

【三角形三边关系定理】三角形两边之和大于第三边。

【三角形三边关系定理的推论】三角形两边的差小于第三边。

而刘薰宇书中的三角形三边关系定理，其实就是余弦定理。虽然书中的三个定理虽然没有出现余弦，但其实它等价于余弦定理。

请看基本图：

图片

基本图

基本图揭示了勾股定理和余弦定理的几何意义。

基本图(1)告诉我们，因为直角三角形q(射影)=0，所以勾股定理是余弦定理的特例，只有两项，没有第三项，即大正方形(c²)=中正方形(a²) 小正方形(b²)。

基本图(2)告诉我们，因为钝角三角形q(射影)>0为正，所以第三项为正，即大正方形(c²)=中正方形(a²) 小正方形(b²) 两个长方形(2aq)。

基本图(3)告诉我们，因为锐角三角形q(射影)<0为负，所以第三项为负，即正方形(c²)=正方形(a²) 正方形(b²)－两个长方形(2aq)。

图中没有涉及角和余弦，相当于余弦定理的小学版或者是普及版。中学生要到高中才接触余弦定理。令人惊讶的是，古希腊的《几何原本》不但有勾股定理，还证明了余弦定理的几何形式。当然，代数学的发展经历了三个阶段，古希腊数学家虽然分类讨论，证明了余弦定理，但是因为时代的局限不可能在书中给出现代数学教科书中的公式。

基本图的相关计算

在基本图(2)钝角三角形中，

a=CB=2.5

b=AC=3.35410197

c=AB=5

q=1.5

c²=a² b² 2aq

=11.2500000251 6.25 7.5

=25.0000000251

在基本图(3)锐角三角形中，

a=CB=3.8

b=AC=3.5

c=AB=2.5

h=AD=2.23980608

q=CD=2.68947369

c²=a² b² 2aq

=14.44 12.25－20.440000044

=6.249999956

为什么说基本图等价于余弦定理呢？我们先从余弦说起。

在直角三角形中，锐角的余弦的定义是邻边比斜边。

余弦一词，余指余角，弦指正弦，意思是余角的正弦。

在直角三角形中，C是直角，A和B都是锐角，并且互为余角。所以有：

cos A=sin (90°－A)=sin B

欧拉把三角函数的定义从锐角拓展到任意角，从第一象限扩张到四个象限。我们来看看余弦函数在单位圆上的定义。

在笛卡尔平面直角坐标系中，角φ一条边在x轴，角的顶点在原点o，另一条边称为动臂可以正向旋转(逆时针)跑遍四个象限。

设动臂与单位圆在四个象限的交点依次为B₁，B₂，B₃，B₄，那么任意角的余弦定义为：

cos φ=横坐标：半径

横坐标是交点B的横坐标，在不同的象限里有不同的符号，但半径永远是正的。

所以，余弦函数在一、四象限为正，二三象限为负。

现在说说余弦定理。

【余弦定理】在平面三角形中，一条边的平方等于其他两条边的平方和减去这两条边跟这两边夹角的余弦之积的两倍。

c²=a² b²－2ab cos C

当已知两边及其夹角时，用余弦定理能计算出第三条边，而当已知三条边时，就可以求得任一角。

勾股定理

余弦定理

基本图是没有余弦的小学版余弦定理，那么高中版余弦定理该怎么画图呢？

只需要修改第三项的图形，把两个长方形(2aq)改成两个平行四边形(2ab cos C)。平行四边形的一组对边是a，另一组对边是b。当平行四边形是直角时，就成为长方形，面积等于底(a)乘以高(b)，平行四边形边长不变时可以改变角度，在底不变的情况下，降低高度，压缩面积。当这两个平行四边形的底是a，高是q的时候，面积=2aq=2ab cos C。这就是余弦定理的几何意义。

再看基本图，在△ABC中，由cos C的定义可知，q=DC=b cos C，所以有

c²=a² b²－2aq

=a² b²－2ab cos C

C是锐角，第一象限cos C为正，上面的公式右边第三项为负；

C是钝角，第二象限cos C为负，上面的公式右边第三项为正(负负得正)。

C为锐角⇔c²<a² b²

C为直角⇔c²=a² b²

C为钝角⇔c²>a² b²

余弦定理有3个公式，我们只写了一个，该怎么得到全部公式呢？

用循环置换法。即三条边循环置换，a用b代替，b用c代替，c用a代替；角同样有A→B→C→A，就能够得到全部三个公式。

在操作过程中，你感受到了余弦定理对称循环的形式美了吗？

好有一比，就比如一个精美的圆瓷盘，有五个字对称均匀排列成圆形：可以清心也，你说该怎么读？